Numéro Insee - Corrigé

Énoncé

En France, on attribue à chaque nouveau-né un numéro Insee, qui est inscrit sur sa carte vitale. Il s'agit d'un numéro unique $N$ formé de treize chiffres, basés notamment sur le sexe, le mois et l'année de naissance, ainsi que le département de naissance. Une clé de contrôle $K$ , formée de deux chiffres, complète le numéro Insee.

Cette clé est calculée de la manière suivante :

• on écrit la division euclidienne de $A$ par $97$  ;
• on pose $K=97-R$ où $R$ est le reste dans la division euclidienne de $A$ par $97$ .
  

On donne le numéro Insee suivant : $1930956142548$ .

1. Démontrer que ${10}^6\equiv 27[97]$ .

2. En décomposant le numéro donné sous la forme $a\times {10}^6+b$  avec $b<{10}^6$ , déterminer sa clé de contrôle.

Solution

1. On a ${10}^6=1000000=97\times 10309+27$  et donc ${10}^6\equiv 27[97]$ .

2. On a : $1930956142548=1930956\times {10}^6+142548$  
Or $1930956\equiv 74[97]$ ; $142548\equiv 55[97]$
donc :  $1930956142548\equiv 74\times 27+55\equiv 2053\equiv 16[97]$  et donc $R=16$ .
Par conséquent, $K=97-R=97-16=81$ .